Un nœud : Un lieu !

Mes chers lecteurs,

Nous allons, si vous le voulez bien, continuer notre exploration du monde étrange qu’ est à lui tout seul celui du nœud borroméen. Mes propos seront quelque peu topologiquement… enchevêtrés !

Le mot “nœud”, dans son acception commune, évoque probablement des lacets de chaussures ou des cordes emmêlées. Mais en mathématiques,  et surtout en topologie, un nœud est quelque chose d’un peu différent. Imaginons une boucle de corde dont les extrémités sont jointes : elle représente parfaitement ce qu’ est un nœud topologique. Le nœud borroméen est un spécimen particulièrement spécial dans ce zoo des nœuds. Ce n’est pas un nœud simple, mais un entrelacs de trois anneaux. Et, de surcroît, ce n’est pas n’importe quel entrelacs.  Voici l’ intrigue, si je puis dire : ces trois anneaux sont liés de telle manière que si vous coupez ou retirez n’importe lequel des trois, les deux autres se retrouvent… déconnectés !  Comme par enchantement, ils se séparent, comme s’ils n’avaient jamais été liés.  C’est un peu comme une amitié à trois qui ne tient qu’à la présence des trois amis : si l’un disparaît, le lien entre les deux autres s’évapore. Étrange, n’est-ce pas ? Pas si l’ on considère que ce noeud ne peut subsister qu’ en trois dimensions.

 Regardez bien, s’ il vous plaît, la représentation du noeud borroméen que j’ ai mise en en tête de mon article. Voyez vous ces trois anneaux ?  Ils sont clairement liés.  Mais si vous essayez d’en défaire un, vous constaterez qu’il n’y a pas de “nœud” au sens traditionnel du terme dans chaque anneau individuellement.  C’est leur configuration collective qui crée le lien.

Mais quelles sont donc les propriétés mathématiques qui rendent ce nœud si spécial ?

Cette structure topologique possède un indice de liaison zéro par paires:  c’est un point crucial. Si vous prenez deux anneaux quelconques du nœud borroméen et que vous essayez de calculer leur indice de liaison, vous trouverez… zéro.  L’indice de liaison, en gros, mesure combien de fois un anneau “tourne autour” de l’autre. Un indice de zéro suggère qu’ils ne sont pas enlacés deux à deux ; et c’ est justement ce que nous venons de dire un peu plus haut. Et pourtant… ils sont bel et bien liés collectivement !  C’est cette tension entre l’absence de liaison par paire et la liaison collective qui rend le nœud borroméen si fascinant pour les mathématiciens.

On constate également que cette structure possède la propriété de non-séparabilité collective. C’ est à dire que même si chaque paire est non-liée, l’ensemble des trois anneaux forme une liaison non-triviale.  Cela signifie qu’il est impossible de les séparer en trois anneaux distincts sans couper au moins un des anneaux.  Imaginez-vous essayant de défaire ce nœud dans l’espace tridimensionnel…  vous allez vite comprendre que c’est impossible sans tricher en coupant !  C’est là toute la puissance de la topologie : elle s’intéresse aux propriétés qui restent inchangées même lorsqu’on déforme les objets (sans les déchirer ou les coller).  Et le nœud borroméen, topologiquement parlant, est une structure indéformable dans son état lié ! 

Le noeud borroméen fait également partie du groupe des noeuds complexes. Pour ceux qui sont familiers avec un peu d’algèbre abstraite, je pourrais mentionner que le groupe de nœud du nœud borroméen est non-trivial et reflète sa complexité.  Mais afin de ne pas nous perdre dans les méandres des groupes et des présentations, disons simplement que ce groupe encode de manière algébrique la manière dont l’espace est “déformé” par la présence du nœud.  Et ce groupe, pour le nœud borroméen, est plus riche et complexe que celui d’un simple nœud trivial (un anneau non noué).

On peut donc conclure que deux grandes caractéristiques signent la nature du noeud borroméen si cher à Jacques Lacan : la fragilité de la liaison et une modélisation de la dépendance mutuelle de chaque élément vis-à-vis de l’ autre. En effet, la fragilité du lien est sa caractéristique topologique la plus frappante.  La suppression d’un seul composant détruit la structure.  Cela contraste fortement avec des liens plus robustes où, même en enlevant un élément, les autres peuvent rester liés (pensez à des chaînes).  Le nœud borroméen est donc une sorte de forteresse fragile, une construction délicate qui s’écroule si l’on retire une pierre angulaire. La dépendance mutuelle, quant à elle,  est souvent utilisé, en dehors des mathématiques, comme une métaphore pour illustrer des concepts de dépendance mutuelle et d’interdépendance dans divers domaines, de la psychologie sociale à la physique des particules.  L’idée que des entités puissent être liées collectivement sans être liées par paires est un concept puissant qui décrit bien la modalité du rapport entre les trois éléments de la deuxième topique freudienne.

Je terminerai en vous laissant méditer sur cette impérieuse nécessité de la tridimensionnalité du noeud borroméen. Que ce type de nouage soit rigoureusement impossible à réaliser en deux dimensions signifie que nous avons bien affaire à une logique toute particulière lorsque nous abordons les rapports qu’ entretiennent le Surmoi, le Moi et l’ Inconscient. Notre Etre de langaqe semble bien fonctionner selon une logique non binaire… A réfléchir et à suivre…

Alexandre Bleus